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百分位數的可信區間估計
中國衛生統計1999年第16卷第3期
陳健美 陳峰
關鍵詞：百分位數 Bootstrap法 可信區間估計
百分位數(percentile)是用于描述計量資料尤其是偏態分布資料極為常用的指標體系。如用于允許區間的估計，變異度的描述，百分位數回歸等。但百分位數本身亦存在抽樣誤差，有必要對其進行區間估計。本文介紹百分位數的bootstrap區間估計，並與二項分布近似法進行比較。
一、Bootstrap法
它是以原始數據為基礎的模擬抽樣統計推斷法，其基本思想是：在原始數據的範圍內作有放回的再抽樣，樣本含量仍為n，原始數據中每個觀察單位每次被抽到的概率相等，為1/n，所得樣本稱為bootstrap樣本。于是可得到參數θ的估計值θ(b)，這樣重復若幹次，記為B。設B=1 000，就得到該參數的1 000個估計值。當θ(b)的頻數分布近似正態分布時，以其均數作為點估計，用正態原理估計可信區間；當θ(b)的頻數分布為偏態時，以其中位數作為點估計，以上、下2.5%分位數作為其95%可信限。
二、二項分布近似法：
根據二項分布原理按下列公式分別求可信區間上下限的百分位x%。
其中n為樣本量，uα為標準正態分布的分位數，p為所求總體百分位數的百分位。然後按公式
分別求出相應百分位數的可信區間。
三、實例分析
取文獻〔3〕中資料(表1)，其中生存時間為正偏態分布，計算5%、50%、95%百分位數為P5=3.73，P50=10.11，P95=69.86。我們首先用bootstrap法來估計以上幾個百分位數的可信區間。步驟為：在26個個體(編號為1，2，…，26)中作有放回的抽樣，每個個體被抽到的概率為1/26，抽樣次數仍為n=26，這可以用計算機產生1～26的均勻分布的隨機數，相應的編號即為抽中的個體，由這些個體組成的樣本就是一個bootstrap樣本。如此重復B次(分別取B=200,500,1 000,1 500，2 000)可算得 、 、 ,b=1,…，B。從其頻數分布可知是偏態分布，故以上、下2.5%分位數作為其95%可信限，結果見表2。在整個計算過程中，只是重復地抽樣，重復地計算各樣本百分位數，根據其頻數分布的分位數即得到了可信區間，無需繁雜的數學推導。
表1 26例漿液性卵巢上皮癌患者的生存時間
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1.00 |
2.50 |
4.50 |
7.50 |
9.50 |
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11.50 |
12.50 |
14.50 |
15.00 |
15.00 |
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17.50 |
18.50 |
24.00 |
24.00 |
25.20 |
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32.70 |
36.00 |
36.00 |
43.00 |
44.00 |
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46.00 |
69.00 |
70.00 |
83.40 |
83.50 |
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156.00 |
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表2 總體百分位數的可信區間
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bootstrap法 |
二項分布法 |
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B=200 |
B=500 |
B=1 000 |
B=1 500 |
B=2 000 |
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P5 |
3.40～4.02 |
3.40～4.03 |
3.40～4.03 |
3.40～4.09 |
3.40～4.09 |
3.40～4.10 |
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P50 |
7.57～12.48 |
7.60～13.99 |
7.64～14.16 |
7.64～14.83 |
7.64～14.83 |
7.64～5.00 |
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P95 |
21.89～31.33 |
24.55～124.17 |
25.65～124.17 |
27.05～124.17 |
27.17～124.17 |
27.18～24.17 |
四、討論
1.bootstrap法估計的誤差是多少?bootstrap統計量的抽樣誤差包含了兩個部分，一是原樣本(經驗分布)的抽樣誤差SF；二是bootstrap再抽樣誤差S(1)B。當B充分大小時，bootstrap再抽樣誤差就趨于消失，bootstrap估計的誤差就接近抽樣誤差。B要取多大?據Efron〔5〕提出，B的大小與原分布有關，一般取50～200之間即可，但若原數據的變異較大，則B的取值相應增加。從例1亦可看出，原始資料變量值小的一側相對穩定，B=200與B=2 000時P5的可信區間很接近，而P95在B=200與B=2 000時則相差很大，提示我們對于變異較大的數據，特別是存有極大值或極小值，B宜取大一些，如本例B=1 000時，P95的可信區間才趨穩定。
2.在作醫學參考值範圍估計時，常用的方法有兩大類：一是適用于正態分布或經變量變換能轉換為正態分布的資料，最常用的是正態分布法；另一適用各種分布型資料，最常用的是百分位數法；對偏態分布用正態分布法會得怎樣的結果?如本例若用正態分布法處理得X=34.70，均數的區間估計為27.94～41.46，與bootstrap、二項分布相差甚遠。因此對偏態分布資料，我們常用百分位數法進行醫學參考值的估計，常用的百分位數為P2.5，P5，P95，P97.5等，對百分位數的區間估計，目前應用較少，從本文應用結果來看，用bootstrap法對百分位數作區間估計，不失為一種可行、高效的估計方法。
作者單位:陳健美 鎮江醫學院(212001)
陳 峰 南通醫學院
參考文獻
1.陳峰.Bootstrap估計及其應用.中國衛生統計，1997，14(5)：5.
2.楊樹勤主編.中國醫學百科全書*醫學統計學.上海：上海科學技術出版社，1985，86.
3.餘鬆林等.臨床隨訪資料的統計分析方法.北京：人民衛生出版社，1991，127.
4.Efron B & Tibshiirani RJ.An Introdution to the bootstrap.New York:Chapman & Hall,1993.
5.Efron B.Better bootstrap confindence interuals(with discutions).J.Amer.Statist.Assoc,1987,82:171～200.
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